Sur combien d’axiomes la construction d’Euclide se fonde-t-elle ?
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L’axiome d’Euclide fait référence à l’un des principes fondamentaux sur lesquels repose la géométrie euclidienne, formulé par le mathématicien grec Euclide vers 300 avant J.-C. dans son ouvrage monumental, Les Éléments. Dans cet ouvrage, Euclide établit la structure logique de la géométrie à partir d’un petit nombre de vérités évidentes, qu’il appelle axiomes ou postulats. La construction d’Euclide repose ainsi sur cinq axiomes principaux, qui constituent les fondements de toute la géométrie classique.
Avant Euclide, la géométrie existait déjà sous une forme pratique, utilisée par les Égyptiens et les Babyloniens pour mesurer les terres ou construire des monuments, mais sans fondement théorique rigoureux. Euclide, professeur à Alexandrie, a eu l’idée novatrice de construire la géométrie comme un système logique : il a posé quelques principes de base considérés comme évidents, puis en a déduit toutes les autres propriétés géométriques à l’aide de démonstrations.
Cette approche a marqué la naissance de la méthode axiomatique, qui allait devenir un modèle pour les sciences mathématiques pendant plus de deux millénaires.
Les cinq axiomes d’Euclide sont des énoncés simples, considérés comme des vérités intuitives sur l’espace. Les voici dans leur formulation la plus connue :
Axiome 1 – Une ligne droite peut être tracée en reliant deux points quelconques
Cet axiome établit la possibilité de relier deux points par une ligne droite, le concept le plus fondamental en géométrie.
Axiome 2 – Une ligne droite finie peut être prolongée indéfiniment
Cela signifie qu’une ligne n’a pas de limites : elle peut être prolongée dans les deux sens jusqu’à l’infini.
Axiome 3 – Un cercle peut être tracé à partir d’un centre et d’un rayon donnés
Ce postulat introduit le concept de cercle et établit la possibilité de le construire à partir d’un point central et d’un segment.
Axiome 4 – Tous les angles droits sont égaux entre eux
Cet axiome établit une norme pour comparer les angles droits, définissant ainsi la perpendicularité comme un concept universel.
Axiome 5 – Si une ligne coupant deux autres lignes forme des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes se coupent du côté où se trouvent ces angles
Il s’agit du célèbre postulat parallèle. Il stipule qu’il n’existe qu’une seule ligne parallèle à une autre passant par un point donné. Cet axiome, plus complexe et moins intuitif que les autres, deviendra plus tard le sujet de débats mathématiques qui mèneront à la naissance des géométries non euclidiennes.
Les cinq axiomes d’Euclide ont dominé la pensée géométrique pendant près de 2 000 ans. Sur la base de ces axiomes, Euclide a construit un système cohérent comprenant plus de 450 propositions prouvées, allant des propriétés des triangles à la théorie des solides réguliers (les célèbres solides platoniciens).
Cet ouvrage a profondément influencé la logique, la philosophie et la science. L’idée que toute connaissance pouvait être déduite à partir de principes premiers a inspiré des penseurs tels que Descartes, Spinoza et Newton.
Cependant, le cinquième axiome, celui des parallèles, a longtemps posé problème. Moins évident que les autres, il a donné lieu à des siècles de tentatives pour le prouver à partir des quatre premiers. Ces efforts ont échoué, conduisant finalement, au XIXe siècle, à la découverte des géométries non euclidiennes par Gauss, Lobachevsky et Riemann, dans lesquelles le postulat parallèle est remplacé par d’autres hypothèses. Ces nouvelles géométries ont ouvert la voie à la relativité générale d’Einstein, révolutionnant notre conception de l’espace et du temps.
La construction d’Euclide repose sur cinq axiomes fondamentaux, formulés dans Les Éléments. Ces principes simples ont servi de base à toute la géométrie classique et ont façonné la pensée scientifique occidentale pendant des siècles. L’axiome d’Euclide, en particulier celui des parallèles, reste une pierre angulaire de la pensée mathématique et un exemple emblématique de la puissance de la logique déductive.
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Sur combien d'axiomes la construction d'Euclide se fonde-t-elle ?
Réponse
La construction géométrique d'Euclide repose sur cinq axiomes, ou postulats, énoncés dans son ouvrage majeur Les Éléments, rédigé vers 300 avant J.-C.