Un cercle passant par les trois sommets d’un triangle est-il inscrit ou circonscrit ?

En géométrie, le cercle circonscrit d’un triangle est l’unique cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Cette propriété est valable pour tout triangle non aplati, c’est-à-dire dont les sommets ne sont pas alignés. Le centre de ce cercle, appelé centre du cercle circonscrit, est le point d’intersection des bissectrices des côtés du triangle.

Le cercle circonscrit est défini comme le cercle passant par tous les sommets d’un polygone. Dans le cas particulier d’un triangle, ce cercle est toujours unique. Le centre du cercle circonscrit, souvent noté O, est équidistant des trois sommets du triangle. Cette équidistance provient du fait que O se trouve sur les bissectrices des côtés du triangle, chaque bissectrice étant le lieu des points équidistants des extrémités du segment qu’elle coupe.

Pour tracer le cercle circonscrit d’un triangle donné, suivez les étapes ci-dessous :

1. Tracez les bissectrices des côtés du triangle : Pour chaque côté, déterminez son point médian, puis tracez la ligne perpendiculaire passant par ce point médian. Ces lignes sont les bissectrices ;
2. Identifiez le point d’intersection des bissectrices perpendiculaires : Les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un seul point, qui est le centre du cercle circonscrit ;
3. Tracez le cercle : À l’aide d’un compas, placez la pointe sèche sur le centre que vous avez trouvé, puis ouvrez le compas sur l’un des sommets du triangle. Tracez ensuite le cercle en passant par les trois sommets.

Cette méthode permet de s’assurer que le cercle tracé est le cercle circonscrit du triangle.

Il est important de faire la distinction entre les cercles circonscrits et les cercles inscrits. Le cercle inscrit d’un triangle est le cercle tangent aux trois côtés du triangle, situé à l’intérieur du triangle. Son centre est le point d’intersection des bissectrices des angles du triangle. Ainsi, le cercle inscrit est contenu dans le triangle, tandis que le cercle circonscrit englobe le triangle et passe par ses sommets.

• Triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. En effet, l’hypoténuse devient le diamètre du cercle circonscrit, et le centre du cercle est donc situé à mi-chemin entre les deux extrémités de l’hypoténuse ;
• Triangle équilatéral : Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre du cercle inscrit, le centre de gravité et l’orthocentre, puisque toutes ces notions se superposent en un seul point en raison de la symétrie parfaite du triangle.

Le concept de cercle circonscrit est fondamental en géométrie et a des applications dans de nombreux domaines, notamment la trigonométrie, la géométrie analytique et même l’ingénierie.

Un cercle passant par les trois sommets d’un triangle est appelé cercle circonscrit. Il est propre à chaque triangle et joue un rôle crucial dans l’étude des propriétés géométriques des triangles. La compréhension de ce concept est essentielle pour une meilleure compréhension de la géométrie plane et de ses applications pratiques.

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